Guía resuelta de Análisis Matemático 66 CBC Cátedra Palacios Puebla

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Análisis Matemático 66

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Acá vas a encontrar resueltos algunos de los ejercicios de esta guía. 😉

ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC

CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 7 - Aproximación polinomial

EJERCICIO 1

Calcular el polinomio de Taylor de orden $n$ de $f$ centrado en $x_{0}$ :

f(x)=2+3 x+4 x^{2}, n=2, x_{0}=0

f(x)=2+3 x+4 x^{2}, n=2, x_{0}=1

f(x)=\frac{1}{1+a x^{2}}, n=4, x_{0}=0, a \neq 0

f(x)=\cos (x), n=5, x_{0}=0

f(x)=\tan (x), n=2, x_{0}=\frac{\pi}{4}

f(x)=\frac{\ln (x)}{x}, n=2, x_{0}=1

f(x)=\operatorname{arcsen}(x), n=2, x_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}

f(x)=\sqrt[3]{x}, n=3, x_{0}=8

EJERCICIO 2

[Ley de Coulomb, I] Un disco uniformemente cargado tiene radio $R$ y densidad de carga superficial $\sigma$ , como se ve en la figura. El potencial eléctrico $V$ en un punto $P$ a una distancia $d>0$ a lo largo de la perpendicular al eje central del disco es $V=2 \pi k_{e} \sigma\left(\sqrt{d^{2}+R^{2}}-d\right)$ donde $k_{e}$ es una constante llamada constante de Coulomb. Demuestre que $V \approx \frac{\pi k_{e} R^{2} \sigma}{d}$ para $d$ muy grande.

(Sugerencia: Considere la variable real

x=\frac{R}{d}

)

EJERCICIO 3

Suponga que $f:(0,5) \rightarrow \mathbb{R}$ es una función tres veces derivable con polinomio de Taylor de orden 3 en $x_{0}=2$ dado por $P_{3}(x)=2+3 x-2 x^{2}-\frac{1}{4} x^{3}$

a) Hallar

f(2), f^{\prime}(2), f^{\prime \prime}(2)

f^{\prime \prime \prime}(2)

b) Suponga que el polinomio de Taylor de orden 2 de

h

alrededor de

x_{1}=-2

viene dado por

Q_{2}(x)=3-x+x^{2}

Halle el polinomio de Taylor de orden 2 alrededor de

x_{0}=2

para la función

h(f(x))

c) Halle el polinomio de Taylor de orden tres alrededor del origen para

\frac{1}{f\left(x^{2}+2\right)}

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